労働者派遣事業の許可を取得・維持するためには、派遣元責任者を選任する必要があります。労働者派遣事業の適正な運営の確保及び派遣労働者の就業条件の整備等に関する法律（労働者派遣法）の第36条にその根拠条文があります。
その要件は、会社が雇用する労働者または役員で、成年に達した後、３年以上の雇用管理経験があり、派遣元責任者講習を３年以内に受講していること、とされています。役員ですので、当然取締役は、派遣元責任者になることができます。しかし、役員に監査役は含まれておらず、監査役は派遣元責任者になることができません。その根拠は、会社法第335条第２項の制約によるものです。
会社法 （監査役の資格等）
第三百三十五条 第三百三十一条第一項及び第二項並びに第三百三十一条の二の規定は、監査役について準用する。
２ 監査役は、株式会社若しくはその子会社の取締役若しくは支配人その他の使用人又は当該子会社の会計参与（会計参与が法人であるときは、その職務を行うべき社員）若しくは執行役を兼ねることができない。
３ 監査役会設置会社においては、監査役は、三人以上で、そのうち半数以上は、社外監査役でなければならない。
自らの仕事を自ら監査することはできないでしょ、という理屈のようです。従って例えば、派遣元責任者として選任されていた取締役が辞任し、同時に監査役に就任した場合、速やかに別の派遣元責任者を選任する必要が生じます。